什么是RSA加密

RSA算法是一种非对称加密算法，与对称加密算法不同的是,RSA算法有两个不同的密钥,一个是公钥,一个是私钥。在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK

相关参数

RSA加密的相关参数

明文 m：就是待加密的文本啦，一般也就是我们的flag。

密文 C：加密完成后的密文，一般题目会给你，我们要做的就是根据密文解密出明文。

公钥 e（加密钥）：用来加密的密钥，是一个整数，是公开的。

两个大素数 p,q：RSA加密的关键部分，一般不会告诉你。我们选取两个大素数并计算它们的乘积，得到n=p*q。后面会用p,q,n来加密解密。由于p,q非常大，想要对n进行因式分解得到p，q非常困难，这也确保了RSA的安全性。

私钥 d（解密钥）：用来解密，一般不会告诉你，d满足e*d mod (p-1)(q-1)=1，所以我们只要知道e和p,q就可以把d算出来。

加减密公式如下：

加密c=E(m)=m^e modn

解密m=D(c)=c^d modn

看完了上述的内容你肯定一脸懵，你讲这些谁能懂啊

好，那么我们通过一道例题来详细讲解一下

例题：RSA加解密

假设设我们现在给了如下条件：p=3 q=11 e=3 d=7 m=6,加密后的值，并验证

首先我们套公式先求n，n=p*q=33，其他条件都有了直接带入就可以了

c=E(m)=m^e modn

=6^3 mod33

=18

验证的话就直接把密文带入就可以了

m=D(c)=c^d modn

=18^7 mod 33

=6

加解密过程你知道了，那么接下来就讲讲公钥私钥怎么算

例题：公钥私钥的计算

还是上述例题，但是这次我们改一些东西我们只有下述这些条件：p=3 q=11

那么我们先确定一下思路：首先求欧拉函数，然后是公钥，最后是私钥

欧拉函数T的公式为T=(q-1)*(p-1),带入得到T的值为20

公钥E的条件为：1<e<T，有T可知，这里我们e取19，e=19

私钥D的条件为：（D*E）%T=1

我们把上述的条件带入

（19*D）%20=1 即可的D=19 即私钥d的值为19，d=19

计算私钥这里我用了一个小脚本

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
def extended_gcd(a, b):
    """扩展欧几里得算法，用于计算最大公约数和贝祖系数"""
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        g, y, x = extended_gcd(b % a, a)
        return (g, x - (b // a) * y, y)

def modinv(a, m):
    """计算 a 的模 m 逆元"""
    g, x, y = extended_gcd(a, m)
    if g != 1:
        raise Exception('模逆元不存在')
    else:
        return x % m

def calculate_private_key(e, phi_n):
    """计算 RSA 私钥 d"""
    d = modinv(e, phi_n)
    return d

# 示例使用
if __name__ == "__main__":
    # 假设我们已知 e 和 phi_n
    e = 19  # 公钥指数
    phi_n = 20  # 欧拉函数值

    # 计算私钥 d
    d = calculate_private_key(e, phi_n)
    print(f"RSA 私钥 d 是: {d}")

好了，现在你掌握了RSA基础的加解密过程以及公私钥的计算,接下来就是看看在ctf中的一些板子

（不是哥们，不要板子你真指望手搓RSA是吧，比赛的时候你能搓出来那你是这个）

板子：

1.经典nec

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
import gmpy2
import binascii
from Crypto.Util.number import isPrime, sieve_base as primes

e = 3
n = 15911581555796798614711625288508309704791837516232122410440958830726078821069050404012820896260071751380436992710638364294658173571101596931605797509712839622479368850251206419748090059752427303611760004621378226431226983665746837779056271530181865648115862947527212787824629516204832313026456390047768174765687040950636530480549014401279054346098030395100387004111574278813749630986724706263655166289586230453975953773791945408589484679371854113457758157492241225180907090235116325034822993748409011554673180494306003272836905082473475046277554085737627846557240367696214081276345071055578169299060706794192776825039
c = 13908468332333567158469136439932325992349696889129103935400760239319454409539725389747059213835238373047899198211128689374049729578146875309231962936554403287882999967840346216695208424582739777034261079550395918048421086843927009452479936045850799096750074359160775182238980989229190157551197830879877097703347301072427149474991803868325769967332356950863518504965486565464059770451458557744949735282131727956056279292800694203866167270268988437389945703117070604488999247750139568614939965885211276821987586882908159585863514561191905040244967655444219603287214405014887994238259270716355378069726760953320025828158
#primes为前10000个素数的列表
#计算prd = ∏ primes
prd = 1
for i in primes:
    prd *= i
#p为(2^prd-1)和n的公约数
p = gmpy2.gcd(gmpy2.powmod(2,prd,n)-1,n)
q = n // p
d = gmpy2.invert(e,(p-1)*(q-1))    #计算私钥d
m = gmpy2.powmod(c, d, n)    #解密
print(m)
flag = binascii.unhexlify(hex(m)[2:])
print(flag)

2.pqec型

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
import gmpy2
import libnum
from Crypto.Util.number import *
from binascii import a2b_hex, b2a_hex
 
flag = "*****************"
p=109935857933867829728985398563235455481120300859311421762540858762721955038310117609456763338082237907005937380873151279351831600225270995344096532750271070807051984097524900957809427861441436796934012393707770012556604479065826879107677002380580866325868240270494148512743861326447181476633546419262340100453
q=127587319253436643569312142058559706815497211661083866592534217079310497260365307426095661281103710042392775453866174657404985539066741684196020137840472950102380232067786400322600902938984916355631714439668326671310160916766472897536055371474076089779472372913037040153356437528808922911484049460342088834871
e=15218928658178
c=262739975753930281690942784321252339035906196846340713237510382364557685379543498765074448825799342194332681181129770046075018122033421983227887719610112028230603166527303021036386350781414447347150383783816869784006598225583375458609586450854602862569022571672049158809874763812834044257419199631217527367046624888837755311215081173386523806086783266198390289097231168172692326653657393522561741947951887577156666663584249108899327053951891486355179939770150550995812478327735917006194574412518819299303783243886962455399783601229227718787081785391010424030509937403600351414176138124705168002288620664809270046124
n = p * q
phi = (p - 1) * (q - 1)
d = gmpy2.invert(e, phi)
m = pow(c, d, n)
print(libnum.n2s(int(m)))

3.dp,dq泄露

dp，dq如何反导推出

推导过程太过于繁琐，我们只要清楚一件事，那就是

dp=d%(p-1)= e*dp=1+k(p-1)

dq=d%(q-1) e*dp=1+k(q-1)

根据上述的公式，对k进行爆破就可以得到p和q的值

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
import gmpy2
from Crypto.Util.number import long_to_bytes
p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229 
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469 
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929 
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041 
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852
I = gmpy2.invert(q,p)
m1 = pow(c,dp,p)
m2 = pow(c,dq,q)
m = (((m1-m2)*I)%p)*q+m2
print(long_to_bytes(m))

4.已知dp型

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
import gmpy2 as gp
 
e = 65537
n = 156808343598578774957375696815188980682166740609302831099696492068246337198792510898818496239166339015207305102101431634283168544492984586566799996471150252382144148257236707247267506165670877506370253127695314163987084076462560095456635833650720606337852199362362120808707925913897956527780930423574343287847
c = 108542078809057774666748066235473292495343753790443966020636060807418393737258696352569345621488958094856305865603100885838672591764072157183336139243588435583104423268921439473113244493821692560960443688048994557463526099985303667243623711454841573922233051289561865599722004107134302070301237345400354257869
dp = 734763139918837027274765680404546851353356952885439663987181004382601658386317353877499122276686150509151221546249750373865024485652349719427182780275825
 
for x in range(1, e):
    if(e*dp%x==1):
        p=(e*dp-1)//x+1
        if(n%p!=0):
            continue
        q=n//p
        phin=(p-1)*(q-1)
        d=gp.invert(e, phin)
        m=gp.powmod(c, d, n)
        if(len(hex(m)[2:])%2==1):
            continue
        print('--------------')
        print(m)
        print(hex(m)[2:])
        print(bytes.fromhex(hex(m)[2:]))

5.低加密指数

当e很小时，rsa的运算会非常快，但随之的也并不安全

1 常规款

当<n时,e非常小，n很大，可以尝试开方

当>n时,就可以爆破k。

= kn + c，对k进行爆破，只要k满足 kn + c能够开e次方就可以得明文

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
import gmpy2
from Crypto.Util.number import *
 
e = 0x3
n = 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
c = 0x10652cdfaa6b63f6d7bd1109da08181e500e5643f5b240a9024bfa84d5f2cac9310562978347bb232d63e7289283871efab83d84ff5a7b64a94a79d34cfbd4ef121723ba1f663e514f83f6f01492b4e13e1bb4296d96ea5a353d3bf2edd2f449c03c4a3e995237985a596908adc741f32365
 
 
def de(c, e, n):
    k = 0
    while True:
        m = c + n*k
        result, flag = gmpy2.iroot(m, e)
        if True == flag:
            return result
        k += 1
 
m=de(c,e,n)
 
print(long_to_bytes(m))

2 多组nc,广播攻击

同一个e，对同一份明文m使用不同的模数n，进行多次加密,得到的了多组密文c

低加密指数广播攻击-CSDN博客

这一篇第二类和第三类都有讲到。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
from Crypto.Util.number import long_to_bytes
import gmpy2
import libnum
 
e = 442344021122101224411230002203344140143044114 
 
n0 = 20474918894051778533305262345601880928088284471121823754049725354072477155873778848055073843345820697886641086842612486541250183965966001591342031562953561793332341641334302847996108417466360688139866505179689516589305636902137210185624650854906780037204412206309949199080005576922775773722438863762117750429327585792093447423980002401200613302943834212820909269713876683465817369158585822294675056978970612202885426436071950214538262921077409076160417436699836138801162621314845608796870206834704116707763169847387223307828908570944984416973019427529790029089766264949078038669523465243837675263858062854739083634207
c0 = 974463908243330865728978769213595400782053398596897741316275722596415018912929508637393850919224969271766388710025195039896961956062895570062146947736340342927974992616678893372744261954172873490878805483241196345881721164078651156067119957816422768524442025688079462656755605982104174001635345874022133045402344010045961111720151990412034477755851802769069309069018738541854130183692204758761427121279982002993939745343695671900015296790637464880337375511536424796890996526681200633086841036320395847725935744757993013352804650575068136129295591306569213300156333650910795946800820067494143364885842896291126137320
 
n1 = 20918819960648891349438263046954902210959146407860980742165930253781318759285692492511475263234242002509419079545644051755251311392635763412553499744506421566074721268822337321637265942226790343839856182100575539845358877493718334237585821263388181126545189723429262149630651289446553402190531135520836104217160268349688525168375213462570213612845898989694324269410202496871688649978370284661017399056903931840656757330859626183773396574056413017367606446540199973155630466239453637232936904063706551160650295031273385619470740593510267285957905801566362502262757750629162937373721291789527659531499435235261620309759
c1 = 15819636201971185538694880505120469332582151856714070824521803121848292387556864177196229718923770810072104155432038682511434979353089791861087415144087855679134383396897817458726543883093567600325204596156649305930352575274039425470836355002691145864435755333821133969266951545158052745938252574301327696822347115053614052423028835532509220641378760800693351542633860702225772638930501021571415907348128269681224178300248272689705308911282208685459668200507057183420662959113956077584781737983254788703048275698921427029884282557468334399677849962342196140864403989162117738206246183665814938783122909930082802031855
 
n2 = 25033254625906757272369609119214202033162128625171246436639570615263949157363273213121556825878737923265290579551873824374870957467163989542063489416636713654642486717219231225074115269684119428086352535471683359486248203644461465935500517901513233739152882943010177276545128308412934555830087776128355125932914846459470221102007666912211992310538890654396487111705385730502843589727289829692152177134753098649781412247065660637826282055169991824099110916576856188876975621376606634258927784025787142263367152947108720757222446686415627479703666031871635656314282727051189190889008763055811680040315277078928068816491
c2 = 4185308529416874005831230781014092407198451385955677399668501833902623478395669279404883990725184332709152443372583701076198786635291739356770857286702107156730020004358955622511061410661058982622055199736820808203841446796305284394651714430918690389486920560834672316158146453183789412140939029029324756035358081754426645160033262924330248675216108270980157049705488620263485129480952814764002865280019185127662449318324279383277766416258142275143923532168798413011028271543085249029048997452212503111742302302065401051458066585395360468447460658672952851643547193822775218387853623453638025492389122204507555908862
 
n3 = 21206968097314131007183427944486801953583151151443627943113736996776787181111063957960698092696800555044199156765677935373149598221184792286812213294617749834607696302116136745662816658117055427803315230042700695125718401646810484873064775005221089174056824724922160855810527236751389605017579545235876864998419873065217294820244730785120525126565815560229001887622837549118168081685183371092395128598125004730268910276024806808565802081366898904032509920453785997056150497645234925528883879419642189109649009132381586673390027614766605038951015853086721168018787523459264932165046816881682774229243688581614306480751
c3 = 4521038011044758441891128468467233088493885750850588985708519911154778090597136126150289041893454126674468141393472662337350361712212694867311622970440707727941113263832357173141775855227973742571088974593476302084111770625764222838366277559560887042948859892138551472680654517814916609279748365580610712259856677740518477086531592233107175470068291903607505799432931989663707477017904611426213770238397005743730386080031955694158466558475599751940245039167629126576784024482348452868313417471542956778285567779435940267140679906686531862467627238401003459101637191297209422470388121802536569761414457618258343550613
 
n4 = 22822039733049388110936778173014765663663303811791283234361230649775805923902173438553927805407463106104699773994158375704033093471761387799852168337898526980521753614307899669015931387819927421875316304591521901592823814417756447695701045846773508629371397013053684553042185725059996791532391626429712416994990889693732805181947970071429309599614973772736556299404246424791660679253884940021728846906344198854779191951739719342908761330661910477119933428550774242910420952496929605686154799487839923424336353747442153571678064520763149793294360787821751703543288696726923909670396821551053048035619499706391118145067
c4 = 15406498580761780108625891878008526815145372096234083936681442225155097299264808624358826686906535594853622687379268969468433072388149786607395396424104318820879443743112358706546753935215756078345959375299650718555759698887852318017597503074317356745122514481807843745626429797861463012940172797612589031686718185390345389295851075279278516147076602270178540690147808314172798987497259330037810328523464851895621851859027823681655934104713689539848047163088666896473665500158179046196538210778897730209572708430067658411755959866033531700460551556380993982706171848970460224304996455600503982223448904878212849412357
 
n5 = 21574139855341432908474064784318462018475296809327285532337706940126942575349507668289214078026102682252713757703081553093108823214063791518482289846780197329821139507974763780260290309600884920811959842925540583967085670848765317877441480914852329276375776405689784571404635852204097622600656222714808541872252335877037561388406257181715278766652824786376262249274960467193961956690974853679795249158751078422296580367506219719738762159965958877806187461070689071290948181949561254144310776943334859775121650186245846031720507944987838489723127897223416802436021278671237227993686791944711422345000479751187704426369
c5 = 20366856150710305124583065375297661819795242238376485264951185336996083744604593418983336285185491197426018595031444652123288461491879021096028203694136683203441692987069563513026001861435722117985559909692670907347563594578265880806540396777223906955491026286843168637367593400342814725694366078337030937104035993569672959361347287894143027186846856772983058328919716702982222142848848117768499996617588305301483085428547267337070998767412540225911508196842253134355901263861121500650240296746702967594224401650220168780537141654489215019142122284308116284129004257364769474080721001708734051264841350424152506027932
 
n6 = 25360227412666612490102161131174584819240931803196448481224305250583841439581008528535930814167338381983764991296575637231916547647970573758269411168219302370541684789125112505021148506809643081950237623703181025696585998044695691322012183660424636496897073045557400768745943787342548267386564625462143150176113656264450210023925571945961405709276631990731602198104287528528055650050486159837612279600415259486306154947514005408907590083747758953115486124865486720633820559135063440942528031402951958557630833503775112010715604278114325528993771081233535247118481765852273252404963430792898948219539473312462979849137
c6 = 19892772524651452341027595619482734356243435671592398172680379981502759695784087900669089919987705675899945658648623800090272599154590123082189645021800958076861518397325439521139995652026377132368232502108620033400051346127757698623886142621793423225749240286511666556091787851683978017506983310073524398287279737680091787333547538239920607761080988243639547570818363788673249582783015475682109984715293163137324439862838574460108793714172603672477766831356411304446881998674779501188163600664488032943639694828698984739492200699684462748922883550002652913518229322945040819064133350314536378694523704793396169065179
 
n7 = 22726855244632356029159691753451822163331519237547639938779517751496498713174588935566576167329576494790219360727877166074136496129927296296996970048082870488804456564986667129388136556137013346228118981936899510687589585286517151323048293150257036847475424044378109168179412287889340596394755257704938006162677656581509375471102546261355748251869048003600520034656264521931808651038524134185732929570384705918563982065684145766427962502261522481994191989820110575981906998431553107525542001187655703534683231777988419268338249547641335718393312295800044734534761692799403469497954062897856299031257454735945867491191
c7 = 6040119795175856407541082360023532204614723858688636724822712717572759793960246341800308149739809871234313049629732934797569781053000686185666374833978403290525072598774001731350244744590772795701065129561898116576499984185920661271123665356132719193665474235596884239108030605882777868856122378222681140570519180321286976947154042272622411303981011302586225630859892731724640574658125478287115198406253847367979883768000812605395482952698689604477719478947595442185921480652637868335673233200662100621025061500895729605305665864693122952557361871523165300206070325660353095592778037767395360329231331322823610060006
 
n8 = 23297333791443053297363000786835336095252290818461950054542658327484507406594632785712767459958917943095522594228205423428207345128899745800927319147257669773812669542782839237744305180098276578841929496345963997512244219376701787616046235397139381894837435562662591060768476997333538748065294033141610502252325292801816812268934171361934399951548627267791401089703937389012586581080223313060159456238857080740699528666411303029934807011214953984169785844714159627792016926490955282697877141614638806397689306795328344778478692084754216753425842557818899467945102646776342655167655384224860504086083147841252232760941
c8 = 5418120301208378713115889465579964257871814114515046096090960159737859076829258516920361577853903925954198406843757303687557848302302200229295916902430205737843601806700738234756698575708612424928480440868739120075888681672062206529156566421276611107802917418993625029690627196813830326369874249777619239603300605876865967515719079797115910578653562787899019310139945904958024882417833736304894765433489476234575356755275147256577387022873348906900149634940747104513850154118106991137072643308620284663108283052245750945228995387803432128842152251549292698947407663643895853432650029352092018372834457054271102816934
 
n9 = 28873667904715682722987234293493200306976947898711255064125115933666968678742598858722431426218914462903521596341771131695619382266194233561677824357379805303885993804266436810606263022097900266975250431575654686915049693091467864820512767070713267708993899899011156106766178906700336111712803362113039613548672937053397875663144794018087017731949087794894903737682383916173267421403408140967713071026001874733487295007501068871044649170615709891451856792232315526696220161842742664778581287321318748202431466508948902745314372299799561625186955234673012098210919745879882268512656931714326782335211089576897310591491
c9 = 9919880463786836684987957979091527477471444996392375244075527841865509160181666543016317634963512437510324198702416322841377489417029572388474450075801462996825244657530286107428186354172836716502817609070590929769261932324275353289939302536440310628698349244872064005700644520223727670950787924296004296883032978941200883362653993351638545860207179022472492671256630427228461852668118035317021428675954874947015197745916918197725121122236369382741533983023462255913924692806249387449016629865823316402366017657844166919846683497851842388058283856219900535567427103603869955066193425501385255322097901531402103883869
 
n10 = 22324685947539653722499932469409607533065419157347813961958075689047690465266404384199483683908594787312445528159635527833904475801890381455653807265501217328757871352731293000303438205315816792663917579066674842307743845261771032363928568844669895768092515658328756229245837025261744260614860746997931503548788509983868038349720225305730985576293675269073709022350700836510054067641753713212999954307022524495885583361707378513742162566339010134354907863733205921845038918224463903789841881400814074587261720283879760122070901466517118265422863420376921536734845502100251460872499122236686832189549698020737176683019
c10 = 1491527050203294989882829248560395184804977277747126143103957219164624187528441047837351263580440686474767380464005540264627910126483129930668344095814547592115061057843470131498075060420395111008619027199037019925701236660166563068245683975787762804359520164701691690916482591026138582705558246869496162759780878437137960823000043988227303003876410503121370163303711603359430764539337597866862508451528158285103251810058741879687875218384160282506172706613359477657215420734816049393339593755489218588796607060261897905233453268671411610631047340459487937479511933450369462213795738933019001471803157607791738538467
 
n11 = 27646746423759020111007828653264027999257847645666129907789026054594393648800236117046769112762641778865620892443423100189619327585811384883515424918752749559627553637785037359639801125213256163008431942593727931931898199727552768626775618479833029101249692573716030706695702510982283555740851047022672485743432464647772882314215176114732257497240284164016914018689044557218920300262234652840632406067273375269301008409860193180822366735877288205783314326102263756503786736122321348320031950012144905869556204017430593656052867939493633163499580242224763404338807022510136217187779084917996171602737036564991036724299
c11 = 21991524128957260536043771284854920393105808126700128222125856775506885721971193109361315961129190814674647136464887087893990660894961612838205086401018885457667488911898654270235561980111174603323721280911197488286585269356849579263043456316319476495888696219344219866516861187654180509247881251251278919346267129904739277386289240394384575124331135655943513831009934023397457082184699737734388823763306805326430395849935770213817533387235486307008892410920611669932693018165569417445885810825749609388627231235840912644654685819620931663346297596334834498661789016450371769203650109994771872404185770230172934013971
 
n12 = 20545487405816928731738988374475012686827933709789784391855706835136270270933401203019329136937650878386117187776530639342572123237188053978622697282521473917978282830432161153221216194169879669541998840691383025487220850872075436064308499924958517979727954402965612196081404341651517326364041519250125036424822634354268773895465698920883439222996581226358595873993976604699830613932320720554130011671297944433515047180565484495191003887599891289037982010216357831078328159028953222056918189365840711588671093333013117454034313622855082795813122338562446223041211192277089225078324682108033843023903550172891959673551
c12 = 14227439188191029461250476692790539654619199888487319429114414557975376308688908028140817157205579804059783807641305577385724758530138514972962209062230576107406142402603484375626077345190883094097636019771377866339531511965136650567412363889183159616188449263752475328663245311059988337996047359263288837436305588848044572937759424466586870280512424336807064729894515840552404756879590698797046333336445465120445087587621743906624279621779634772378802959109714400516183718323267273824736540168545946444437586299214110424738159957388350785999348535171553569373088251552712391288365295267665691357719616011613628772175
 
n13 = 27359727711584277234897157724055852794019216845229798938655814269460046384353568138598567755392559653460949444557879120040796798142218939251844762461270251672399546774067275348291003962551964648742053215424620256999345448398805278592777049668281558312871773979931343097806878701114056030041506690476954254006592555275342579529625231194321357904668512121539514880704046969974898412095675082585315458267591016734924646294357666924293908418345508902112711075232047998775303603175363964055048589769318562104883659754974955561725694779754279606726358588862479198815999276839234952142017210593887371950645418417355912567987
c13 = 3788529784248255027081674540877016372807848222776887920453488878247137930578296797437647922494510483767651150492933356093288965943741570268943861987024276610712717409139946409513963043114463933146088430004237747163422802959250296602570649363016151581364006795894226599584708072582696996740518887606785460775851029814280359385763091078902301957226484620428513604630585131511167015763190591225884202772840456563643159507805711004113901417503751181050823638207803533111429510911616160851391754754434764819568054850823810901159821297849790005646102129354035735350124476838786661542089045509656910348676742844957008857457
 
n14 = 27545937603751737248785220891735796468973329738076209144079921449967292572349424539010502287564030116831261268197384650511043068738911429169730640135947800885987171539267214611907687570587001933829208655100828045651391618089603288456570334500533178695238407684702251252671579371018651675054368606282524673369983034682330578308769886456335818733827237294570476853673552685361689144261552895758266522393004116017849397346259119221063821663280935820440671825601452417487330105280889520007917979115568067161590058277418371493228631232457972494285014767469893647892888681433965857496916110704944758070268626897045014782837
c14 = 14069112970608895732417039977542732665796601893762401500878786871680645798754783315693511261740059725171342404186571066972546332813667711135661176659424619936101038903439144294886379322591635766682645179888058617577572409307484708171144488708410543462972008179994594087473935638026612679389759756811490524127195628741262871304427908481214992471182859308828778119005750928935764927967212343526503410515793717201360360437981322576798056276657140363332700714732224848346808963992302409037706094588964170239521193589470070839790404597252990818583717869140229811712295005710540476356743378906642267045723633874011649259842
 
n15 = 25746162075697911560263181791216433062574178572424600336856278176112733054431463253903433128232709054141607100891177804285813783247735063753406524678030561284491481221681954564804141454666928657549670266775659862814924386584148785453647316864935942772919140563506305666207816897601862713092809234429096584753263707828899780979223118181009293655563146526792388913462557306433664296966331469906428665127438829399703002867800269947855869262036714256550075520193125987011945192273531732276641728008406855871598678936585324782438668746810516660152018244253008092470066555687277138937298747951929576231036251316270602513451
c15 = 17344284860275489477491525819922855326792275128719709401292545608122859829827462088390044612234967551682879954301458425842831995513832410355328065562098763660326163262033200347338773439095709944202252494552172589503915965931524326523663289777583152664722241920800537867331030623906674081852296232306336271542832728410803631170229642717524942332390842467035143631504401140727083270732464237443915263865880580308776111219718961746378842924644142127243573824972533819479079381023103585862099063382129757560124074676150622288706094110075567706403442920696472627797607697962873026112240527498308535903232663939028587036724
 
n16 = 23288486934117120315036919418588136227028485494137930196323715336208849327833965693894670567217971727921243839129969128783853015760155446770590696037582684845937132790047363216362087277861336964760890214059732779383020349204803205725870225429985939570141508220041286857810048164696707018663758416807708910671477407366098883430811861933014973409390179948577712579749352299440310543689035651465399867908428885541237776143404376333442949397063249223702355051571790555151203866821867908531733788784978667478707672984539512431549558672467752712004519300318999208102076732501412589104904734983789895358753664077486894529499
c16 = 10738254418114076548071448844964046468141621740603214384986354189105236977071001429271560636428075970459890958274941762528116445171161040040833357876134689749846940052619392750394683504816081193432350669452446113285638982551762586656329109007214019944975816434827768882704630460001209452239162896576191876324662333153835533956600295255158377025198426950944040643235430211011063586032467724329735785947372051759042138171054165854842472990583800899984893232549092766400510300083585513014171220423103452292891496141806956300396540682381668367564569427813092064053993103537635994311143010708814851867239706492577203899024
 
n17 = 19591441383958529435598729113936346657001352578357909347657257239777540424811749817783061233235817916560689138344041497732749011519736303038986277394036718790971374656832741054547056417771501234494768509780369075443550907847298246275717420562375114406055733620258777905222169702036494045086017381084272496162770259955811174440490126514747876661317750649488774992348005044389081101686016446219264069971370646319546429782904810063020324704138495608761532563310699753322444871060383693044481932265801505819646998535192083036872551683405766123968487907648980900712118052346174533513978009131757167547595857552370586353973
c17 = 3834917098887202931981968704659119341624432294759361919553937551053499607440333234018189141970246302299385742548278589896033282894981200353270637127213483172182529890495903425649116755901631101665876301799865612717750360089085179142750664603454193642053016384714515855868368723508922271767190285521137785688075622832924829248362774476456232826885801046969384519549385428259591566716890844604696258783639390854153039329480726205147199247183621535172450825979047132495439603840806501254997167051142427157381799890725323765558803808030109468048682252028720241357478614704610089120810367192414352034177484688502364022887
 
n18 = 19254242571588430171308191757871261075358521158624745702744057556054652332495961196795369630484782930292003238730267396462491733557715379956969694238267908985251699834707734400775311452868924330866502429576951934279223234676654749272932769107390976321208605516299532560054081301829440688796904635446986081691156842271268059970762004259219036753174909942343204432795076377432107630203621754552804124408792358220071862369443201584155711893388877350138023238624566616551246804054720492816226651467017802504094070614892556444425915920269485861799532473383304622064493223627552558344088839860178294589481899206318863310603
c18 = 6790553533991297205804561991225493105312398825187682250780197510784765226429663284220400480563039341938599783346724051076211265663468643826430109013245014035811178295081939958687087477312867720289964506097819762095244479129359998867671811819738196687884696680463458661374310994610760009474264115750204920875527434486437536623589684519411519100170291423367424938566820315486507444202022408003879118465761273916755290898112991525546114191064022991329724370064632569903856189236177894007766690782630247443895358893983735822824243487181851098787271270256780891094405121947631088729917398317652320497765101790132679171889
 
n19 = 26809700251171279102974962949184411136459372267620535198421449833298448092580497485301953796619185339316064387798092220298630428207556482805739803420279056191194360049651767412572609187680508073074653291350998253938793269214230457117194434853888765303403385824786231859450351212449404870776320297419712486574804794325602760347306432927281716160368830187944940128907971027838510079519466846176106565164730963988892400240063089397720414921398936399927948235195085202171264728816184532651138221862240969655185596628285814057082448321749567943946273776184657698104465062749244327092588237927996419620170254423837876806659
c19 = 386213556608434013769864727123879412041991271528990528548507451210692618986652870424632219424601677524265011043146748309774067894985069288067952546139416819404039688454756044862784630882833496090822568580572859029800646671301748901528132153712913301179254879877441322285914544974519727307311002330350534857867516466612474769753577858660075830592891403551867246057397839688329172530177187042229028685862036140779065771061933528137423019407311473581832405899089709251747002788032002094495379614686544672969073249309703482556386024622814731015767810042969813752548617464974915714425595351940266077021672409858645427346
 
n=[n0,n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7,n8,n9,n10,n11,n12,n13,n14,n15,n16,n17,n18,n19]
c=[c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c18,c19]
 
for i in range(len(n)):
    for j in range(len(n)):
        if(i!=j):
            if(gmpy2.gcd(n[i],n[j])!=1):   #对不同的n进行 欧几里得算法，以求出最大公约数(p)
                print(i,j)                 #输出对应的n的序号            
                p = gmpy2.gcd(n[i],n[j])
                print("p = ",p)
                q = n[i] // p
                print("q = ",q)
                d = gmpy2.invert(e , (p-1)*(q-1))
                print("d = ",d)
                m = pow(c[i],d,n[i])
                print("m = ",m)
 
print(long_to_bytes(m))

3 多组nc,不知e

这里用到一个理论：中国剩余定理

密码学基础1：RSA算法原理全面解析 - 简书 (jianshu.com)

（这位大佬整理了十分详细的密码学需要的数学理论）

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
import gmpy2
import  binascii
 
#利用中国剩余定理求解同余方程，aList：余数，mList：模数
def CRT(aList, mList):
    M = 1
    for i in mList:
        M = M * i   #计算M = ∏ mi
    #print(M)
    x = 0
    for i in range(len(mList)):
        Mi = M // mList[i]   #计算Mi
        Mi_inverse = gmpy2.invert(Mi, mList[i]) #计算Mi的逆元
        x += aList[i] * Mi * Mi_inverse #构造x各项
    x = x % M
    return x
 
if __name__ == "__main__":
    #========== n c ==========
    n1 = "636585149594574746909030160182690866222909256464847291783000651837227921337237899651287943597773270944384034858925295744880727101606841413640006527614873110651410155893776548737823152943797884729130149758279127430044739254000426610922834573094957082589539445610828279428814524313491262061930512829074466232633130599104490893572093943832740301809630847541592548921200288222432789208650949937638303429456468889100192613859073752923812454212239908948930178355331390933536771065791817643978763045030833712326162883810638120029378337092938662174119747687899484603628344079493556601422498405360731958162719296160584042671057160241284852522913676264596201906163"
    c1 = "310020004234033304244200421414413320341301002123030311202340222410301423440312412440240244110200112141140201224032402232131204213012303204422003300004011434102141321223311243242010014140422411342304322201241112402132203101131221223004022003120002110230023341143201404311340311134230140231412201333333142402423134333211302102413111111424430032440123340034044314223400401224111323000242234420441240411021023100222003123214343030122032301042243"
    n2 = "302240000040421410144422133334143140011011044322223144412002220243001141141114123223331331304421113021231204322233120121444434210041232214144413244434424302311222143224402302432102242132244032010020113224011121043232143221203424243134044314022212024343100042342002432331144300214212414033414120004344211330224020301223033334324244031204240122301242232011303211220044222411134403012132420311110302442344021122101224411230002203344140143044114"
    c2 = "112200203404013430330214124004404423210041321043000303233141423344144222343401042200334033203124030011440014210112103234440312134032123400444344144233020130110134042102220302002413321102022414130443041144240310121020100310104334204234412411424420321211112232031121330310333414423433343322024400121200333330432223421433344122023012440013041401423202210124024431040013414313121123433424113113414422043330422002314144111134142044333404112240344"
    n3 = "332200324410041111434222123043121331442103233332422341041340412034230003314420311333101344231212130200312041044324431141033004333110021013020140020011222012300020041342040004002220210223122111314112124333211132230332124022423141214031303144444134403024420111423244424030030003340213032121303213343020401304243330001314023030121034113334404440421242240113103203013341231330004332040302440011324004130324034323430143102401440130242321424020323"
    c3 = "10013444120141130322433204124002242224332334011124210012440241402342100410331131441303242011002101323040403311120421304422222200324402244243322422444414043342130111111330022213203030324422101133032212042042243101434342203204121042113212104212423330331134311311114143200011240002111312122234340003403312040401043021433112031334324322123304112340014030132021432101130211241134422413442312013042141212003102211300321404043012124332013240431242"
    
    cList = [int(c1,5), int(c2,5), int(c3,5)]
    nList = [int(n1,5), int(n2,5), int(n3,5)]
    m_e = CRT(cList, nList) #计算m^e
    for e in range(1, 10):  #遍历e求解
        m, f = gmpy2.iroot(m_e, e) #m_e开e次根
        print("加密指数e = %d："%e)
        m = hex(m)[2:]
        if len(m)%2 == 1:
            m = m + '0' #binascii.unhexlify()参数长度必须为偶数，因此做一下处理
        flag = binascii.unhexlify(m)
        print(flag)

6.低解密指数

在e过大或过小的情况下，可使用算法从e中快速推断出d的值。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/400818185

维纳攻击

维纳攻击的包

https://github.com/pablocelayes/rsa-wiener-attack

用下面脚本这个也可以

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
import gmpy2
def transform(x,y):       #使用辗转相处将分数 x/y 转为连分数的形式
    res=[]
    while y:
        res.append(x//y)
        x,y=y,x%y
    return res
    
def continued_fraction(sub_res):
    numerator,denominator=1,0
    for i in sub_res[::-1]:      #从sublist的后面往前循环
        denominator,numerator=numerator,i*numerator+denominator
    return denominator,numerator   #得到渐进分数的分母和分子，并返回
 
    
#求解每个渐进分数
def sub_fraction(x,y):
    res=transform(x,y)
    res=list(map(continued_fraction,(res[0:i] for i in range(1,len(res)))))  #将连分数的结果逐一截取以求渐进分数
    return res
 
def get_pq(a,b,c):      #由p+q和pq的值通过维达定理来求解p和q
    par=gmpy2.isqrt(b*b-4*a*c)   #由上述可得，开根号一定是整数，因为有解
    x1,x2=(-b+par)//(2*a),(-b-par)//(2*a)
    return x1,x2
 
def wienerAttack(e,n):
    for (d,k) in sub_fraction(e,n):  #用一个for循环来注意试探e/n的连续函数的渐进分数，直到找到一个满足条件的渐进分数
        if k==0:                     #可能会出现连分数的第一个为0的情况，排除
            continue
        if (e*d-1)%k!=0:             #ed=1 (mod φ(n)) 因此如果找到了d的话，(ed-1)会整除φ(n),也就是存在k使得(e*d-1)//k=φ(n)
            continue
        
        phi=(e*d-1)//k               #这个结果就是 φ(n)
        px,qy=get_pq(1,n-phi+1,n)
        if px*qy==n:
            p,q=abs(int(px)),abs(int(qy))     #可能会得到两个负数，负负得正未尝不会出现
            d=gmpy2.invert(e,(p-1)*(q-1))     #求ed=1 (mod  φ(n))的结果，也就是e关于 φ(n)的乘法逆元d
            return d
    print("该方法不适用")
    
    
n=116518679305515263290840706715579691213922169271634579327519562902613543582623449606741546472920401997930041388553141909069487589461948798111698856100819163407893673249162209631978914843896272256274862501461321020961958367098759183487116417487922645782638510876609728886007680825340200888068103951956139343723
e=113449247876071397911206070019495939088171696712182747502133063172021565345788627261740950665891922659340020397229619329204520999096535909867327960323598168596664323692312516466648588320607291284630435682282630745947689431909998401389566081966753438869725583665294310689820290368901166811028660086977458571233
d=wienerAttack(e,n)
print("d=",d)

7.共模攻击

就是用了相同的模数n，不同的e去加密了明文，得到了不同的密文

用欧几里得法可以解决。

RSA共模攻击(包括原理)-CSDN博客

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
import base64
import binascii
from gmpy2 import invert
 
 
def gongmogongji(n, c1, c2, e1, e2):
    def egcd(a, b):
        if b == 0:
            return a, 0
        else:
            x, y = egcd(b, a % b)
            return y, x - (a // b) * y
    s = egcd(e1, e2)
    s1 = s[0]
    s2 = s[1]
 
    # 求模反元素
    if s1 < 0:
        s1 = - s1
        c1 = invert(c1, n)
    elif s2 < 0:
        s2 = - s2
        c2 = invert(c2, n)
    m = pow(c1, s1, n) * pow(c2, s2, n) % n
    return m
 
e1 = 2333
e2 = 23333
n = 14853081277902411240991719582265437298941606850989432655928075747449227799832389574251190347654658701773951599098366248661597113015221566041305501996451638624389417055956926238595947885740084994809382932733556986107653499144588614105694518150594105711438983069306254763078820574239989253573144558449346681620784979079971559976102366527270867527423001083169127402157598183442923364480383742653117285643026319914244072975557200353546060352744263637867557162046429886176035616570590229646013789737629785488326501654202429466891022723268768841320111152381619260637023031430545168618446134188815113100443559425057634959299
c1= 9019830127966606906464163705535027700561898947418322215393908445009242179167597651925841118316630701618436764264699314552447720149593429706316419331896724446094136347810583285346557783936628597847493120016473433473330251114748446427062675501559006975193129803994725192341142651123081596938614511835997876348473802944655262159234368886342372288177602939577681373118900661853369729955669191349550944243083931363775278368006736861968373929659452324928717576454476283569924557611587202305905995850467023599457853064826143558839450619335648344789044580250617378775696602242486907674188020686038355268018529452212723060692
c2= 7563852349633487798997172876975591429209075092735397576666034100512529825482444173697941660689932482429363510797912607835964683622045467097999152958495208182723131508451922493376602015184587042150008175319229695236575996965109722740106063395302603470942179722934026775469056507532049664349338297417549652192151214021245619467351572107095850571209304871479252815905952520340200706932283707839077271667181519283111113310156811157311493370032898609825259831287805863768559277229081013434445216553375342584470159735519515161060405187679495646834149664149144845293116225595350930746749956697077616155117458970304949375967
result = gongmogongji(n, c1, c2, e1, e2)
flag = binascii.unhexlify(hex(result)[2:])
print(flag)

8.威尔逊定理运用

例题：[RoarCTF2019]babyRSA

链接：BUUCTF在线评测 (buuoj.cn)

题解：RoarCTF2019 babyRSA - vict0r - 博客园 (cnblogs.com)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
from sympy import nextprime
from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import invert
 
def get_p_q(A,B):
    tmp = 1
    # calculate remain value (mod A) of (A−1)(A−2)(A−3)...(B+1)
    for i in range(B+1,A-1):
        tmp *= i
        tmp %= A
 
    tmp_inv = invert(tmp,A)
    result = nextprime(tmp_inv)
    return result
 
A1=21856963452461630437348278434191434000066076750419027493852463513469865262064340836613831066602300959772632397773487317560339056658299954464169264467234407
B1=21856963452461630437348278434191434000066076750419027493852463513469865262064340836613831066602300959772632397773487317560339056658299954464169264467140596
 
A2=16466113115839228119767887899308820025749260933863446888224167169857612178664139545726340867406790754560227516013796269941438076818194617030304851858418927
B2=16466113115839228119767887899308820025749260933863446888224167169857612178664139545726340867406790754560227516013796269941438076818194617030304851858351026
 
n=85492663786275292159831603391083876175149354309327673008716627650718160585639723100793347534649628330416631255660901307533909900431413447524262332232659153047067908693481947121069070451562822417357656432171870951184673132554213690123308042697361969986360375060954702920656364144154145812838558365334172935931441424096270206140691814662318562696925767991937369782627908408239087358033165410020690152067715711112732252038588432896758405898709010342467882264362733
e=0x1001
c=75700883021669577739329316795450706204502635802310731477156998834710820770245219468703245302009998932067080383977560299708060476222089630209972629755965140317526034680452483360917378812244365884527186056341888615564335560765053550155758362271622330017433403027261127561225585912484777829588501213961110690451987625502701331485141639684356427316905122995759825241133872734362716041819819948645662803292418802204430874521342108413623635150475963121220095236776428
 
p = get_p_q(A1,B1)
q = get_p_q(A2,B2)
print(p)
print(q)
# p = 1276519424397216455160791032620569392845781005616561979809403385593761615670426423039762716291920053306063214548359656555809123127361539475238435285654851
# q = 13242175493583584108411324143773780862426183382017753129633978933213674770487765387985282956574197274056162861584407275172775868763712231230219112670015751
 
r = n // p // q
print(r)
# r = 5057572094237208127867754008134739503717927865750318894982404287656747895573075881186030840558129423864679886646066477437020450654848839861455661385205433
 
phn = (p - 1) * (q - 1) * (r - 1)
d = invert(e, phn)
print(d)
# d = 23245991568931089935575398139533179902151911325504278186895368123724684132878362590745372016987963378102056924287587028702166372731411906405181410326380814220943063812165970658883369631308421395770179828382024820676516261188276456737434776404340381374859304944884947772697915445301641449023374627214573292539161320959779418043275889202421521069705878414823578781441160766914068377017428380775625886023385019623499784980822629415795884228504498888092721097658433
m = pow(c,d,n)
print(m)
# 49562188096458630410563044417358818341913265571373725266976612126526106528404944745044614126232074073813936259453
print(long_to_bytes(m))

9.欧拉函数

题目：[MRCTF2020] babyRSA

链接：BUUCTF在线评测 (buuoj.cn)

Q很简单直接pow

问题是p,

在p序列中，p+1,我们可以用nextprime知道。但是p-1不好求，我们就可以暴力，通过每次p-2找质数，直到找到为止。这样就直到n了。

知道factor,n,e要想知道p就得有d，已知e,所以得知道phi.回到Rsa问题上

因为有p序列，n *= P[i]

根据欧拉函数：

phi就是n的欧拉函数。

不理解的话，可以代入pq，φ(n)=φ(pq)=(p-1)(q-1)

phi*=P[i]-1

通过这个我们可以知道关于p的phi

得到p之后就是rsa问题了

题解：[MRCTF2020] babyRSA - Mr_small - 博客园 (cnblogs.com)‘

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
import gmpy2
from Crypto.Util.number import long_to_bytes
import sympy
 
base = 65537
P_p=206027926847308612719677572554991143421
P_factor=213671742765908980787116579976289600595864704574134469173111790965233629909513884704158446946409910475727584342641848597858942209151114627306286393390259700239698869487469080881267182803062488043469138252786381822646126962323295676431679988602406971858136496624861228526070581338082202663895710929460596143281673761666804565161435963957655012011051936180536581488499059517946308650135300428672486819645279969693519039407892941672784362868653243632727928279698588177694171797254644864554162848696210763681197279758130811723700154618280764123396312330032986093579531909363210692564988076206283296967165522152288770019720928264542910922693728918198338839
Q_1=103766439849465588084625049495793857634556517064563488433148224524638105971161051763127718438062862548184814747601299494052813662851459740127499557785398714481909461631996020048315790167967699932967974484481209879664173009585231469785141628982021847883945871201430155071257803163523612863113967495969578605521
Q_2=151010734276916939790591461278981486442548035032350797306496105136358723586953123484087860176438629843688462671681777513652947555325607414858514566053513243083627810686084890261120641161987614435114887565491866120507844566210561620503961205851409386041194326728437073995372322433035153519757017396063066469743
sub_Q=168992529793593315757895995101430241994953638330919314800130536809801824971112039572562389449584350643924391984800978193707795909956472992631004290479273525116959461856227262232600089176950810729475058260332177626961286009876630340945093629959302803189668904123890991069113826241497783666995751391361028949651
Ciphertext =  1709187240516367141460862187749451047644094885791761673574674330840842792189795049968394122216854491757922647656430908587059997070488674220330847871811836724541907666983042376216411561826640060734307013458794925025684062804589439843027290282034999617915124231838524593607080377300985152179828199569474241678651559771763395596697140206072537688129790126472053987391538280007082203006348029125729650207661362371936196789562658458778312533505938858959644541233578654340925901963957980047639114170033936570060250438906130591377904182111622236567507022711176457301476543461600524993045300728432815672077399879668276471832
 
_Q=pow(sub_Q , Q_2 , Q_1)
Q= sympy.nextprime(_Q)
# print("Q: ", Q)
 
def p_Prime(p):    
    while True:
        p=p-2
        if sympy.isprime(p)==1:
            return p
 
P = [0 for i in range(17)]
P[9]=P_p
for i in range(10,17):
    P[i]=sympy.nextprime(P[i-1])
for i in range(9,0,-1):
    P[i-1]=p_Prime(P[i])
n=1
for i in range(17):
    n*=P[i]
phi=1
for i in range(17):
    phi*=P[i]-1
d=gmpy2.invert(base,phi)
P_1=pow(P_factor,d,n)
P=sympy.nextprime(P_1)
Phi=(P-1)*(Q-1)
N=P*Q
D=gmpy2.invert(base,Phi)
flag=pow(Ciphertext,D,N)
print(long_to_bytes(flag))